Byl synem spisovatele a dramatika Václava Štecha. Po maturitě na pražském gymnáziu studoval v letech 1904–1910 dějiny umění , historii a estetiku na Filozofické fakultě Univerzity Karlovy. Studia ukončil obhajobou rigorózní práce roku 1910. Roku 1912 pokračoval ve studiu na Humboldtově univerzitě v Berlíně a na Sorbonně v Paříži. Od roku 1904 byl členem Klubu Za starou Prahu. V letech 1910–1918 byl odborným asistentem ředitele Muzea hlavního města Prahy. Roku 1918 byl členem čs. delegace na mírové konferenci v Paříži a pak do roku 1924 působil jako ministerský tajemník na Ministerstvu školství a národní osvěty v referátu péče o současné umění. V letech 1916–1924 byl také redaktorem edice Umělecké památky nakladatelství F. Topič. V letech 1924–1930 přednášel nauku o slohu na uměleckoprůmyslové škole v Praze, roku 1927 se habilitoval jako docent. Od roku 1930 do roku 1939 působil jako mimořádný profesor dějin umění AVU. V letech 1931–1934 byl redaktorem edice Umění v obrazech. Na počátku války byl zatčen a do roku 1942 vězněn v koncentračním táboře Buchenwald. Od roku 1945 byl řádným profesorem dějin umění na AVU v Praze a profesorem ČVUT. Spolupracoval s Českým rozhlasem od počátku jeho vysílání a připravoval populárně naučné programy v Československé televizi .

Josef Ehm byl významný český fotograf uměleckých památek, pedagog a redaktor. V letech 1934–1946 učil na Státní grafické škole v Praze. Roku 1939 se zúčastnil výstavy Uměleckopúrůmyslového muzea v Praze Století české fotografie. Mezi léty 1939 a 1941 redigoval s Jaromírem Funkem časopis Fotografický obzor. Kromě toho přispíval svými fotografiemi do novin a časopisů , které vycházely opakované i v cizojazyčných verzích. Ilustroval také beletrii v Praze. Josef Ehm zůstal do konce své dlouholeté praxe vyznavačem černobílé fotografie, i když fotgrafoval i barevně. Ve druhé polovině 60. let nároky na fotodokumentaci ve sbírkových institucích vzrostly tak, že zaměstnávaly vlastní fotografy, takže s Ehmem ukončily spolupráci. "Papírové" zvětšeniny jeho fotografií se dodnes dochovaly na evidenčních kartách předmětů Uměleckoprůmyslového muzea v Praze, Národní galerie v Praze, Národního muzea či ve fototé...